Найдите наименьшее значение выражения (5 х + 4 у + 6) ^2 + (3 х + 4 у + 2) ^2 и значения х и у, при которых оно достигается.

Наименьшее значение этого выражения равно 0 и достигается когда каждое слагаемое равно 0, так как меньше нуля каждое из этих слагаемых быть не может (из-за квадратов).

Составим и решим систему уравнений:

5 х + 4y = - 6

3 х + 4y = - 2

Сокращаем и получаем:

2 х = - 4

3 х + 4y = - 2

Таким образом:

х = - 2

y = 1

При х = - 2 и у = 1, получим (5 х + 4 у + 6) ^2 + (3 х + 4 у + 2) ^2 = 0.

Ответ: при х = - 2 и y = 1.