докажите, что разность между квадратом натурального числа, не делящимся на 3, и 1 делится на 3.

Если некоторое натуральное число а не делится на 3, то это число при делении на 3 может давать в остатке либо 1, либо 2.

Рассмотрим каждый случай.

1) Пусть число а при делении на 3 дает в остатке 2.

Тогда число а можно представить в виде а = 3k + 2, где k - некоторое целое число.

Находим значение выражения а^2 - 1:

а^2 - 1 = (3k + 2) ^2 - 1 = 9k^2 + 12k + 4 - 1 = 9k^2 + 12k + 3 = 3 * (3k^2 + 4k + 1).

Из полученного представления следует, что выражение а^2 - 1 делится на 3.

2) Пусть число а при делении на 3 дает в остатке 1.

Тогда число а можно представить в виде а = 3k + 1, где k - некоторое целое число.

Находим значение выражения а^2 - 1:

а^2 - 1 = (3k + 1) ^2 - 1 = 9k^2 + 6k + 1 - 1 = 9k^2 + 6k = 3 * (3k^2 + 2k).

Из полученного представления следует, что выражение а^2 - 1 делится на 3.

Следовательно, если натуральное число а не делится на 3, то разность его квадрата и числа 1 делится на 3.