На окружности с центром О взяты последовательно точки А, В, С так, чтобы угол АОВ равен углу ВОС равен углу СОА. Верно ли, что треугольник АВС - равносторонний? Обоснуйте свой ответ.

Да, верно, треугольник АВС равносторонний.

Решение: Рассмотрим, на какие дуги опираются углы АОВ, ВОС и СОА (все углы являются центральными углами) : угол АОВ опирается на дугу АВ, угол ВОС опирается на дугу ВС, угол СОА опирается на дугу АС. Следовательно, дуга АВ равна дуге ВС и равна дуге АС.

Если провести отрезки АВ, ВС и АС (они будут являться хордами данной окружности), то хорды, опирающиеся на равные дуги, равны между собой.

Следовательно, АВ = ВС = АС, то есть треугольник АВС = равносторонний.