Решите систему уравнений: ab = 60 a^2 + b^2 = 169

Рассмотрим систему уравнений: a * b = 60, a² + b² = 169. Умножим обе части первого уравнения на 2 и найдём алгебраическую сумму полученного и второго уравнений. Тогда имеем a² + 2 * a * b + b² = 2 * 60 + 169. Воспользуемся формулой сокращенного умножения (a + b) ² = a² + 2 * a * b + b² (квадрат суммы). Имеем: (a + b) ² = 289. Очевидно, что последнее равенство выполнится если: А) a + b = 17 или Б) a + b = - 17. Рассмотрим каждый случай по отдельности. А) Пусть a + b = 17. Тогда это равенство и равенство a * b = 60, на основе теоремы Виета, дают право утверждать, что a и b являются корнями квадратного уравнения х² - 17 * х + 60 = 0. Решим это уравнение. Найдем дискриминант квадратного уравнения: D = (-17) ² - 4 * 1 * 60 = 289 - 240 = 49. Так как дискриминант больше нуля то, квадратное уравнение имеет два действительных корня: x₁ = (17 - √ (49)) / (2 * 1) = (17 - 7) / 2 = 10/2 = 5 и x₂ = (17 + √ (49)) / (2 * 1) = (17 + 7) / 2 = 24/2 = 12. Следовательно, получаем две пары решений данного уравнения: (a; b) = (5; 12) и (a; b) = (12; 5). Б) Пусть a + b = - 17. Аналогично предыдущему пункту, составим квадратное уравнение у² + 17 * у + 60 = 0. Найдем дискриминант квадратного уравнения: D = 17² - 4 * 1 * 60 = 289 - 240 = 49. Так как дискриминант больше нуля то, это квадратное уравнение также имеет два действительных корня: у₁ = (-17 - √ (49)) / (2 * 1) = (-17 - 7) / 2 = - 24/2 = - 12 и у₂ = (-17 + √ (49)) / (2 * 1) = (-17 + 7) / 2 = - 10/2 = - 5. Следовательно, получаем ещё две пары решений данного уравнения: (a; b) = (-5; - 12) и (a; b) = (-12; - 5).

Ответ: (a; b) = (5; 12); (a; b) = (12; 5); (a; b) = (-5; - 12) и (a; b) = (-12; - 5).