Сумма всех различных значений параметра A, при которых прямые y = (a+123) x+a^2-4a+3 и y = (a-278) x-a^2+6a-5 перпендикулярны.

1. Прямые y = k1x + b1 и y = k2x + b2 перпендикулярны, если угловые коэффициенты удовлетворяют условию:

k1k2 = - 1. (1)

2. Для заданных прямых найдем значения параметра a, при которых выполняется условие (1):

y = (a + 123) x + a^2 - 4a + 3; y = (a - 278) x - a^2 + 6a - 5; k1 = a + 123; k2 = a - 278; (a + 123) (a - 278) = - 1; a^2 + 123a - 278a - 34194 + 1 = 0; a^2 - 155a - 34193 = 0; D = 155^2 + 4 * 34193 = 24025 + 136772 = 160797 > 0, значит, имеем два корня.

3. Сумма корней (по теореме Виета) равна:

a1 + a2 = 155.

Ответ: 155.