10. Решите уравнение. Если уравнение имеет более одного корня, то в ответ запишите сумму корней. lg (х2+19) - lg (х+1) = 1

Данное уравнение lg (х² + 19) - lg (х + 1) = 1 содержит в своём составе логарифмы, следовательно, для того, чтобы оно имело смысл, должны выполняться условия х² + 19 > 0 и х + 1 > 0. Поскольку для любого х ∈ (-∞; + ∞), справедливо х² ≥ 0, то х² + 19 ≥ 19 > 0. Второе неравенство выполнится, если х > - 1, то есть областью допустимых значений, при которых данное уравнение имеет смысл, является множество (-1; + ∞). Воспользуемся формулой log_a (b / с) = log_ab - log_aс, где а > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0 и определением логарифма, согласно которого, lg10 = 1. Имеем: lg ((х² + 19) / (х + 1)) = lg10, откуда (х² + 19) / (х + 1) = 10. Умножим обе части полученного уравнения на (х + 1). Тогда, имеем: х² + 19 = 10 * (х + 1) или х² + 19 = 10 * х + 10, откуда х² - 10 * х + 9 = 0. Решим полученное квадратное уравнение, для чего вычислим дискриминант D = (-10) ² - 4 * 1 * 9 = 100 - 36 = 64. Поскольку, D = 64 > 0, то вычислим корни квадратного уравнения: х₁ = (10 - √ (64)) / 2 = (10 - 8) 2 = 2/2 = 1 и х₂ = (10 + √ (64)) / 2 = (10 + 8) 2 = 18/2 = 9. Найденные корни квадратного уравнения х = 1 и х = 9 принадлежат множеству (-1; + ∞). Следовательно, данное уравнение имеет два корня. Согласно требования задания, вычислим сумму корней: 1 + 9 = 10.

Ответ: 10.