Решите неравенства (через ОДЗ) 1. log1/2 (2x+5) >-3 2. log3 (x2-1)

1) log_1/2 (2x + 5) > - 3.

Избавимся от дробного основания логарифма:

log_1/2 (2x + 5) = log_2^-1 (2x + 5) = - log₂ (2x + 5).

- log₂ (2x + 5) > - 3.

Умножим неравенство на (-1), перевернув знак неравенства:

log₂ (2x + 5) < 3.

Представим число 3 как логарифм с основанием 2: 3 = log₂8.

log₂ (2x + 5) < log₂8.

Найдем ОДЗ: 2x + 5 > 1; 2 х > 1 - 5; 2x > - 4; x > - 2.

Решаем неравенство: 2x + 5 < 8; 2 х < 8 - 5; 2x < 3; x < 1,5.

Отмечаем на одной прямой оба решения неравенств, штрихуем нужные участки прямой. Там, где штриховка совпала, и будет решение системы неравенств: (-2; 1,5).

2) log₃ (x^2 - 1) < log₃ (x + 1) + 1.

Найдем ОДЗ: x^2 - 1 > 0; (x + 1) (x - 1) > 0. Решение неравенства (-∞; - 1) и (1; + ∞).

x + 1 > 0; x > - 1. Общее решение ОДЗ: (1; + ∞).

Представим 1 как логарифм с основанием 3: 3 = log₃3.

Получается неравенство log₃ (x^2 - 1) < log₃ (x + 1) + log₃3.

По правилу сложения логарифмов: log₃ (x^2 - 1) < log₃3 (x + 1).

Отсюда: x^2 - 1 < 3 (x + 1);

x^2 - 1 - 3 (x + 1) < 0;

x^2 - 1 - 3x - 3 < 0;

x^2 - 3x - 4 < 0.

Рассмотрим функцию у = x^2 - 3x - 4, это квадратичная парабола, ветви вверх.

Найдем нули функции: у = 0; у = x^2 - 3x - 4.

D = 9 + 16 = 25 (√D = 5);

х₁ = (3 - 5) / 2 = - 1;

х₂ = (3 + 5) / 2 = 4.

Отмечаем на числовой прямой точки - 1 и 4, схематически рисуем параболу, проходящую через эти точки (ветви вверх). Неравенство имеет знак < 0, значит решением неравенства будет промежуток, где парабола находится ниже прямой, то есть (-1; 4).

Объединяем решение неравенства и ОДЗ: (1; + ∞) и (-1; 4). Решение неравенства (1; 4).