Решить систему: ∛x+∛y = 5 и Х+У=35

Подстановка: x^1/3 = t, y^1/3 = p.

Получим систему:

t + p = 5 (1);

t³ + p³ = 35 (2);

Разложим сумму кубов в (2) на множители:

(t + p) (t² - tp + p²) = 35.

Согласно (1) заменим t + p на 5:

5t² - 5tp + 5p² = 35 (3);

t² - tp + p² = 7 (4).

Из (1) находим t и подставляем в (3):

t = 5 - p;

25 - 10p + p² - 5p + p² + p² = 7;

3p² - 15p + 18 = 0 (4);

Находим два корня уравнения

p₁ = (15 + √225 - 12 * 18) / 2 = (15 + 3) / 6 = 3;

p₂ = (15 - 3) / 6 = 2.

Решение для p₁:

t₁ = 5 - p₁ = 5 - 3 = 2.

Возвращаемся к переменным x и y:

x₁^1/3 = t₁; x₁ = t₁³ = 2³ = 8; y₁ = 35 - x₁ = 35 - 8 = 27.

Решение для p₂:

t₂ = 5 - p₂ = 3;

x₂^1/3 = t₂; x₂ = t₂³ = 3³ = 27; y₂ = 35 - x₂ = 35 - 27 = 8.

Ответ:

x₁ = 8, y₁ = 27;

x₂ = 27, y₂ = 8.