Определите без построения графика, при каком значении х квадратичная функция y=-2x^2+8x+1 принимает наибольшее значение? А. 0; Б. - 2; В. 4; Г. 2.

Найдем производную функции:

y^| = ( - 2x² + 8x + 1) ^|.

Производная суммы равна сумме производных:

( - 2x²) ^| + (8x) ^| + 1^|;

Постоянная выносится за знак производной, а производная постоянной равна 0:

- 2 (x²) ^| + 8 (x) ^| + 0 = - 2 * 2x^{2 - 1} + 8 * 1 = - 4 x + 8.

Найдем точки экстремума: для этого решим уравнение y^| = 0.

- 4x + 8 = 0.

Перенесем 8 вправо, поменяв знак на противоположный:

- 4 х = 0 - 8;

- 4 х = - 8.

Найдем неизвестный множитель: разделим произведение на известный множитель.

х = - 8 / - 4;

х = 2.

Определим знак производной в окрестностях точки х = 2.

y^| (1) = - 4 * 1 + 8 = - 4 + 8 = 4 > 0;

y^| (3) = - 4 * 3 + 8 = - 12 + 8 = - 4 < 0.

Так как при переходе через точку х = 2 функция меняет возрастание на убывание, то х = 2 - точка максимума функции. Других точек экстремума у функции нет, значит, наибольшее значение функция принимает в точке х = 2.

Ответ: г) 2.