6 в степени x + 6 в степени 1 - x = 7

Выпишем явно отрицательную степень как деление:

6^x + 6^ (1 - x) = 7;

6^x + 6 * 6^ ( - x) = 7;

6^x + 6 / (6^x) = 7.

Становится понятным, что можно ввести замену. Пусть 6^x = y, тогда:

y + 6/y = 7.

Это уравнение сводится к квадратному умножением на y при условии, что y≠ 0.

y^2 - 7 * y + 6 = 0;

D = 49 - 24 = 25;

y = (7 ± 5) / 2;

y = 1, или y = 6.

Возвращаемся к исходной переменной x "икс":

1) 6^x = y;

6^x = 1;

x = 0.

2) 6^x = y;

6^x = 6;

x = 1.

Решим уравнение 6 ^ x + 6 ^ (1 - x) = 7

6 ^ x + 6 ^ 1 * 6 ^ ( - x) = 7;

6 ^ x + 6 * 6 ^ ( - x) = 7;

6 ^ x + 6 * 1/6 ^ x = 7;

Правую и левую часть выражения умножаем на 6 ^ x. То есть получаем:

6 ^ x * 6 ^ x + 6 * 1/6 ^ x * 6 ^ x = 7 * 6 ^ x;

Числитель и знаменатель в дроби 1/6 ^ x * 6 ^ x сокращаем на 6 ^ x, тогда получим:

(6 ^ x) ^ 2 + 6 * 1/1 * 1 = 7 * 6 ^ x;

(6 ^ x) ^ 2 + 6 = 7 * 6 ^ x;

Перенесем все значения выражения на одну сторону. При переносе значений, их знаки меняются на противоположный знак. То есть получаем:

(6 ^ x) ^ 2 - 7 * 6 ^ x + 6 = 0;

Пусть 6 ^ x = a, тогда получим:

A ^ 2 - 7 * a + 6 = 0;

Найдем корни квадратного уравнения a ^ 2 - 7 * a + 6 = 0

A ^ 2 - 7 * a + 6 = 0;

Найдем дискриминант квадратного уравнения:

D = b ² - 4 * a * c = ( - 7) ² - 4 · 1 · 6 = 49 - 24 = 25;

Так как дискриминант больше нуля то, квадратное уравнение имеет два действительных корня:

a₁ = (7 - √25) / (2 · 1) = (7 - 5) / 2 = 2/2 = 1;

a₂ = (7 + √25) / (2 · 1) = (7 + 5) / 2 = 12/2 = 6;

Отсюда получаем:

Уравнение имеет 2 корня; 6 ^ x = a1; 6 ^ x = a2.

Решим уравнения по отдельности и получим:

{ 6 ^ x = 1;

6 ^ x = 6;

{ 6 ^ x = 6 ^ 0;

6 ^ x = 6 ^ 1;

Если основания равны, то приравниваются их степени. То есть получаем 2 корня:

X = 0 и x = 1.

Отсюда получаем, что уравнение 6 ^ x + 6 ^ 1 * 6 ^ ( - x) = 7 имеет 2 корня: х = 0 и х = 1.