В шахматном турнире участвовали ученики 9-го и 10-го классов. Каждый участник играл с каждым другим один раз. Десятиклассников было в 10 раз больше, чем девятиклассников и они набрали вместе в 4,5 раза больше очков, чем все девятиклассники. Сколько учеников 9-го класса участвовало в турнире и сколько они набрали очков?

Пусть в турнире участвовало n девятиклассников.

Тогда десятиклассников было 10n;

Всего участников было: n + 10n = 11n;

Каждый сыграл (11n - 1) партий;

Общее количество разыгранных очков:

1/2 · 11n (11n - 1) = 5,5n (11n - 1);

По условию, отношение числа очков, набранных девятиклассниками, к числу очков, набранных десятиклассниками, равно 1 : 4,5. Поэтому девятиклассники набрали n (11n - 1) очков;

Значит, получается, что девятиклассники выиграли все партии, которые сыграли. Это возможно, только если девятиклассник был один. Если бы их было больше одного, они бы играли между собой и не могли бы выиграть все партии. Поэтому, в турнире играл один девятиклассник, он выиграл все партии и набрал 10 очков.

Ответ: В турнире участвовал один ученик 9-го класса и он набрал 10 очков;