В шахматном турнире каждый шахматист половину своих очков набрал во встречах с участниками, занявшими три последних места. В шахматном турнире за победу присуждается 1 очко, за ничью 1/2, за поражение - 0 очков. Сколько человек участвовало в турнире?

Будем для краткости называть игроков, занявших последние три места, плохими, а всех остальных - хорошими. Плохие игроки сыграли между собой три партии, и в этих партиях было набрано в общей сложности три очка. По условию, это - половина всех очков, набранных плохими игроками; значит, в играх с хорошими плохие игроки набрали ещё 3 очка. Но всего между плохими и хорошими игроками было сыграно 3 (n - 3) партий и разыграно столько же очков (n - общее число игроков). Из них 3 очка взяли плохие игроки, а остальные очки - хорошие. Следовательно, в партиях с плохими игроками хорошие игроки завоевали 3 (n - 3) - 3 = 3 (n - 4) очков, и, значит, столько же очков хорошие игроки набрали (в общей сложности) в играх друг с другом. Между хорошими игроками было проведено ½ (n - 3) (n - 4) партий и разыграно столько же очков. Следовательно, (n - 3) (n - 4) = 6 (n - 4), откуда n = 4 или n = 9. Первый вариант должен быть исключён, так как в этом случае единственный хороший игрок набрал бы 0 очков, то есть не был бы первым. Остаётся одно решение: n = 9.