Сумма первых девяти членов арифметической прогрессии равна 117, а сумма последовательных членов этой прогрессии, начиная с десятого номера и до пятнадцатого включительно, равна 213. Найдите четвертый член прогрессии.

Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии:

Sn = ((a1 + an) * n) / 2.

S1 = ((a1 + a9) * 9) / 2 = 117,

а1 + а9 = 117*2/9,

а1 + а9 = 26;

S2 = ((a10 + a15) * 6/2 = 213,

а10 + а15 = 213*2/6,

а10 + а15 = 71.

Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: an = a1 + d * (n-1).

а9 = а1 + 8d,

a10 = a1 + 9d,

a15 = a1 + 14d.

Подставляем получившиеся выражения в полученные выше равенства:

а1 + a1 + 8d = 26,

a1 + 9d + a1 + 14d = 71.

2*a1 + 8d = 26,

2*a1 + 23d = 71. Получили систему двух уравнений с двумя неизвестными. Решим ее методом сложения - домножим второе уравнение на (-1) и сложим равенства поэлементно:

-2*a1 - 8d = - 26,

2*a1 + 23d = 71.

Сложив, получим:

15d = 45,

d = 3,

Подставим d в первое уравнение, получим значение для а1:

2 а1 + 8*3 = 26,

2 а1 = 26 - 24.

а1 = 1.

Осталось найти четвертый элемент последовательности, зная первый элемент и разность:

а4 = а1 + 3d,

a4 = 1 + 3*3 = 10.

Ответ: 10.