В треугольнике АВС сторона АВ=5 см., угол С=30, угол В=45. Решите треугольник АВС

Question

Гость

Математика

12 апреля, 04:44

В треугольнике АВС сторона АВ=5 см., угол С=30, угол В=45. Решите треугольник АВС

+2

Ответы (2)

Знаешь ответ на этот вопрос?

Никита Павловский · Answer 1

1) Находим угол А исходя из теоремы о сумме углов треугольника: сумма всех углов треугольника равна 180 градусам -

угол А = 180 - 45 - 30 = 105 градусов.

2) Из угла А проводим перпендикуляр АК к стороне ВС. Угол АКВ = АКС = 90 градусов. Тогда по теореме о сумме углов треугольника находим углы ВАК и САК:

ВАК = 180 - 45 - 90 = 45 градусов = " треугольник ВАК является равнобедренным;

САК = 180 - 30 - 90 = 60 градусов.

3) Найдём значение АК. Так как ВАК является равнобедренным прямоугольным треугольником в гипотенузой, равной 5 см, то ВК = АК, sin (ВАК) = cos (ВАК) = 1/2^ (-1/2). Следовательно:

АК: 5 = 2^ (-1/2);

АК = 5 * 2^ (-1/2) = 5/2^ (1/2) = ВК.

4) Так как катет, лежащий напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы, то

АС = 2 * 5/2^ (1/2) = 5*2^ (1/2).

5) Находим СК через cos (30):

СК/AK = 3^ (1/2) / 2;

CK = AK * 3^ (1/2) / 2 = 5*2^ (1/2) * 3^ (1/2) / 2 = 5 * (3/2) ^ (1/2).

5) Находим сторону ВС:

ВС = ВК + СК = 5*2^ (-1/2) + 5 * (3/2) ^ (1/2) = 5 * (3^ (1/2) + 1) / 2^ (1/2).

Ответ: угол С = 105 градусов, сторона ВС = 5 * (3^ (1/2) + 1) / 2^ (1/2), сторона АС = 5*2^ (1/2).

Rais · Answer 2

Для того, чтобы решить треугольник, то есть вычислить все его стороны необходимо выполнить дополнительное построение: опустить из вершины А перпендикуляр АК к стороне ВС. Отрезок АК называется высотой треугольника АВС.

Треугольник АКВ

Полученный треугольник АКВ является прямоугольным (АК - высота) и равнобедренным (угол АВК равен 45 градусов, значит угол ВАК равен 180 - 90 - 45 = 45 градусов; углы при основании равны, значит и стороны АК = ВК). По условию АВ = 5 см.

По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, что в данном случае означает АВ^2 = АК^2 + ВК^2 или АВ^2 = 2 АК^2.

Тогда:

АК^2 = 1/2 АВ^2; АК^2 = 1/2 5^2; АК = 5 (1/2) ^ (1 / 2) см. Треугольник АКС

Треугольник АКС тоже - прямоугольный (АК - высота). Угол АСК = 30 градусов.

Известно, что в прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы (sin 30 градусов = 1/2 = противолежащий катет / гипотенуза). Значит, гипотенуза АС = 2 АК = 2 * 5 (1/2) ^ (1/2) = 10 (1/2) ^ (1/2) см.

По теореме Пифагора СК^2 = АС^2 - АК^2.

СК^2 = (10 (1/2) ^ (1 / 2)) ^2 - (5 (1/2) ^ (1 / 2)) ^2 = 100 * 1/2 - 25 * 1/2 = 75 * 1/2.

СК = (75 * 1/2) ^ (1 / 2) = 5 (3/2) ^ (1 / 2) см.

Треугольник АВС

АВ = 5 см (по условию).

АС = 10 (1/2) ^ (1 / 2) см (из треугольника АКС).

ВС = ВК + СК = 5 (1/2) ^ (1 / 2) + 5 (3/2) ^ (1 / 2) = 5 * ((1/2) ^ (1 / 2) + (3/2) ^ (1 / 2)) см.

Ответ: стороны треугольника АВС равны:

АВ = 5 см; АС = 10 (1/2) ^ (1 / 2) см; ВС = 5 * ((1/2) ^ (1 / 2) + (3/2) ^ (1 / 2)) см.