Выразить с помощью радикалов sin18 градусов.

Обозначим искомую величину через А, то есть А = sin18°. Воспользуемся формулой для синуса двойного аргумента sin (2 * α) = 2 * sinα * cosα и формулой приведения sin (90° - α) = cosα. Имеем: sin36° = 2 * sin18° * cos18°, откуда 2 * А = sin36° / cos18° или 1 - 2 * А = 1 - sin36° / cos18° = (cos18° - sin (90° - 54°)) / cos18° = (cos18° - cos54°) / cos18°. Теперь применим формулу преобразования разности косинусов в произведение синусов cosα - cosβ = - 2 * sin (½ * (α + β)) * sin (½ * (α - β)) и ещё раз формулу для синуса двойного аргумента. Тогда получим: 1 - 2 * А = (2 * sin36° * sin18°) / cos18° = (2 * 2 * sin18° * cos18° * sin18°) / cos18° = 4 * sin²18° = 4 * А². Таким образом, получили следующее квадратное уравнение 4 * А² + 2 * А - 1 = 0 относительно неизвестной А, которое имеет два корня: А₁ = ((√5) - 1) / 4 и А₂ = - ((√5) + 1) / 4 - побочный корень (поскольку sin18° > 0). Итак, sin18° = ((√5) - 1) / 4.

Ответ: sin18° = ((√5) - 1) / 4.