Решите тригонометрические уравнения4cos^2x - 11sinx - 11 = 0 2) 3sin^2x + 8sin x cos x + 4cos^2x = 0 3) 5tg x - 12ctg x + 11=0 4) 5sin 2x + 22sin^2x = 16 5) 2sin^2 x - 10cos 2x = 9sin 2x + 10

Решение

1) 4cos^2x - 11sinx - 11 = 0

4 (1-sin^2x) - 11sinx - 11=0

-4sin^2x-11sinx-11+4=0

Замена sinx=t

-4t^2-11t-7=0/*-1

4t^2+11t+7=0

D=b^2-4ac=11^2-4*4*7=121-112=9

t1 = (-b-VD) / 2a = (-11-3) / 2*4=-14/8

t2 = (-b+VD) / 2a = (-11+3) / 2*4=-1

t1 исключаем, так как sin не бывает меньше - 1

sinx=t2

sinx=-1

х=3 П/2+2 Пn

2) 3sin^2x + 8sin x cos x + 4cos^2x = 0

Разделим обе части на cos^2x, получим

3tg^2x+8tgx+4=0

Замена tgx=t

3t^2+8t+4=0

D=b^2-4ac=8^2-4*3*4=64-48=16

t1 = (-b-VD) / 2a = (-8-4) / 2*3=-2

t2 = (-b+VD) / 2a = (-8+4) / 2*3=-2/3

tgx=-2 tgx=-2/3

x1=arctg (-2) + Пn x2=arctg (-2/3) + Пn

3) 5tg x - 12ctg x + 11=0

Преобразуем сtg x в tg x

5tg x-12/tg x+11=0

Умножим обе части на tg x

5tg^2x-12+11tgx=0

Замена tgx=t

5t^2-12+11t=0

D=b^2-4ac=11^2-4*5 * (-12) = 121+240=361

t1 = (-b-VD) / 2a = (-11-19) / 2*5=-3

t2 = (-b+VD) / 2a = (-11+19) / 2*5=0,8

tgx=-3 tgx=0,8

x1=arctg (-3) + Пn x2=arctg (0,8) + Пn

4) 5sin 2x + 22sin^2x = 16

10sinx*cosx + 22sin^2x=16/Разделим обе части на sin^2x

10 сtgx+22=16/sin^2x

10 сtgx+22=16 (1+сtg^2x)

10 сtgx+22=16+16 сtg^2x

Замена сtgx=t

10t+6-16t^2=0/2

-8t^2+5t+3=0

D=b^2-4ac=5^2-4*3 * (-8) = 25+96=121

t1 = (-b-VD) / 2a = (-5-11) / 2 * (-8) = -1

t2 = (-b+VD) / 2a = (-5+11) / 2 * (-8) = -3/8

ctgx=-1 ctgx=-3/8

x1=3 П/4+Пn x2=arcctg (-3/8) + Пn

5) 2sin^2 x - 10cos 2x = 9sin 2x + 10

2sin^2 x-10 (cos^2 x-sin^2 x) - 18sinxcosx-10

2sin^2 x-10 (1-2sin^2 x) - 18sinxcosx-10=0

2sin^2 x-10+20sin^2 x-18sinxcosx-10=0

22sin^2 x-18sinxcosx-20=0/2

11sin^2 x-9sinxcosx-10=0/Разделим обе части на sin^2x

11-9 сtgx-10/sin^2x=0

11-9 сtgx-10 (1+сtg^2x) = 0

-10 сtg^2x-9 сtgx+1=0

D=b^2-4ac = (-9) ^2-4*1 * (-10) = 81+40=121

t1 = (-b-VD) / 2a = (9-11) / 2 * (-10) = -0.2

t2 = (-b+VD) / 2a = (9+11) / 2 * (-10) = -1

ctgx=1 ctgx=-0.2

x1=П/4+Пn x2=arcctg (-0.2) + Пn