Сколько имеется четырехзначных натуральных чисел, которые делятся на 9 и не содержат в своей записи цифры 0?

Пусть:

f (n) - количество n-значных чисел, кратных 9; g (n) - количество n-значных чисел, кратных 9, содержащих цифру 0; h (n) - количество n-значных чисел, кратных 9, не содержащих цифру 0.

1. Однозначные числа, кратные 9:

f (1) = 1; g (1) = 0; h (1) = 1.

2. Двузначные числа, кратные 9:

f (2) = 10;

1) с одним нулем:

a0: h (1) чисел; g (2) = h (1) = 1; h (2) = f (2) - g (2) = 10 - 1 = 9.

3. Трехзначные числа, кратные 9:

f (3) = 100;

1) с двумя нулями:

a00: h (1) чисел;

2) с одним нулем;

ab0: h (2) чисел; a0b: h (2) чисел. g (3) = h (1) + 2h (2) = 1 + 2 * 9 = 19; h (3) = f (3) - g (3) = 100 - 19 = 81.

4. Четырехзначные числа, кратные 9:

f (4) = 1000;

1) с тремя нулями:

a000: h (1) чисел;

2) с двумя нулями;

ab00: h (2) чисел; a0b0: h (2) чисел. a00b: h (2) чисел.

3) с одним нулем;

abс0: h (3) чисел; ab0 с: h (3) чисел; a0bс: h (3) чисел; g (4) = h (1) + 3h (2) + 3h (3) = 1 + 3 * 9 + 3 * 81 = 1 + 27 + 243 = 271; h (4) = f (4) - g (4) = 1000 - 271 = 729.

Ответ: 729 чисел.