Sin^2 x+14sinx * cosx = 15cosx^2 * x

Предположим, что cosx ≠ 0. Разделим обе части данного уравнения sin²x + 14 * sinx * cosx = 15 cos²x на cos²x и воспользуемся формулой: tgα = sinα / cosα. Тогда, получим: tg²х + 14 * tgх = 15. Введём новую переменную у = tgх. Тогда наше уравнение примет вид: у² + 14 * у - 15 = 0. Это уравнение является квадратным уравнением, дискриминант D которого равен D = 14² - 4 * 1 * (-15) = 196 + 60 = 256. Поскольку D = 256 > 0, то квадратное уравнение имеет два корня: у₁ = (-14 - √ (256)) / 2 = - 30 : 2 = - 15 и у₂ = (-14 + √ (256)) / 2 = 2 : 2 = 1. Исследуем каждый корень по отдельности. При у = - 15, имеем: tgх = - 15. Это простейшее тригонометрическое уравнение имеет следующее решение: х = arctg (-15) + π * k, где k - целое число. Нечётность арктангенса позволяет переписать полученное решение в виде: х = - arctg15 + π * k, где k - целое число. При у = 1, имеем tgх = 1. Это простейшее тригонометрическое уравнение имеет следующие две серии решений: х = π/4 + 2 * π * m, где m - целое число и х = 5 * π/4 + 2 * π * n, где n - целое число.

Ответ: х = - arctg15 + π * k, х = π/4 + 2 * π * m, х = 5 * π/4 + 2 * π * n, где m, n и k - целые числа.