В ряд лежат n монет. За ход разрешается брать одну или две рядом лежащие монеты. Проигрывает тот, кому нечего брать. При каких n у первого игрока есть выигрышная стратегия?

Вариант 1. Монеты разрешено брать только подряд, нельзя брать монеты из середины ряда. Тогда у первого игрока есть выигрышная стратегия при числах n=x*3 + (1 или 2), где x-любое натуральное число. Тогда первому игроку достаточно убрать из последовательности число монет, которое мешает разделить всё количество на 3 нацело, то есть если это x*3+1, то единичку, если это x*3+2, то двойку. И далее убирать совместно со вторым игроком в сумме по 3 монеты за ход, то есть если он взял 1, то 2, а если 2, то 1.

Вариант 2. Если можно брать из середины, то первый выигрывает при любом n. Первый берет среднюю монету (если число монет нечетное), или две средних (если четное), чтобы в итоге получилось две симметричные кучки. Если второй берет k монету, то первый берет n-k монету; если второй берет две монеты, то и первый берет две монеты по ранее написанному правилу и выигрывает (симметрия ходов относительно средней монеты). Таким образом, выигрышную стратегию имеет первый игрок.