Докажите что для любого натурального значения n справедливо утверждение (n3 + 3n2+8n) делится на 3

Рассмотрим данное выражение:

А = n^3 + 3 * n^2 + 8 * n = n * (n^2 + 3 * n + 8).

Если число n делится на 3, то, очевидно, и А делится на 3.

Исследуем 2 оставшихся возможных варианта:

1) n при делении на 3 дает в остатке 1,

2) n при делении на 3 дает в остатке 2.

1) Если n при делении на 3 дает в остатке 1, то его можно представить: n = 3 * k + 1.

Тогда

n^2 + 3 * n + 8 = (3 * k + 1) ^2 + 3 * (3 * k + 1) + 8 =

= 9 * k^2 + 6 * k + 1 + 9 * k + 3 + 8 =

= 3 * (3 * k^2 + 5 * k + 3). Следовательно, делится на 3.

2) Если n при делении на 3 дает в остатке 2, то его можно представить: n = 3 * k + 2.

Тогда

n^2 + 3 * n + 8 = (3 * k + 2) ^2 + 3 * (3 * k + 2) + 8 =

= 9 * k^2 + 12 * k + 4 + 9 * k + 6 + 8 =

= 3 * (3 * k^2 + 7 * k + 6). Следовательно, делится на 3, что и требовалось доказать.