В ящике лежат синие и красные шары, некоторые из шаров имеют радиус 3 см, остальные - 5 см. Есть ли в ящике два шара разных цветов, которые различаются размерами?

Будем решать эту задачу методом от противного. Предположим, что в ящике нет двух шаров разных цветов, которые отличаются размерами.

Рассмотрим виды шаров

В ящике имеются следующие виды шаров:

S5 - синий шар диаметром 5 см; K5 - красный шар диаметром 5 см; S3 - синий шар диаметром 3 см; K3 - красный шар диаметром 3 см. Какие шары могут находиться в ящике

Общее число комбинаций шаров будет равно числу сочетаний из 4 по 2;

С (4,2) = 4! / (2! ∙ (4 - 2) !) = 4 ∙ 3 / 1 ∙ 2 = 6;

Мы сделали предположение, что ящике не могут одновременно появиться шары S5 + K3 или K5 + S3.

Тогда в ящике могут находиться только следующие виды шаров:

S5 + K5, или S3 + K3, или S5 + S3, или К5 + K3.

То есть, в таком случае в ящике должно находиться только два вида шаров из четырех. Добавление любого шара третьего вида ведет к появлению двух шаров разных цветов, которые отличаются размерами.

Мы получили противоречие, предположив, что в ящике нет двух шаров разных цветов, которые отличаются размерами.

Значит, там обязательно найдутся два шара разных цветов, которые отличаются размерами.

Ответ: Есть.

Обозначим шары следующим образом:

3 с - синий с радиусом 3;

5 с - синий с радиусом 5;

3 к - красный с радиусом 3;

5 к - красный с радиусом 5.

Допустим, что в ящике нет двух шаров разных цветов и разных размеров. Тогда в ящике могут лежать шары только такого вида: 3 к, 5 к или 3 с, 5 с, или 5 с, 5 к, или 3 с, 3 к. Все это противоречит условию задачи. Следовательно в ящике есть два шара разных цветов, которые различаются размерами.