В ящике лежат шары трѐх цветов - красные, синие, жѐлтые. Известно, что если вынуть из ящика любые 50 шаров, то среди них обязательно найдутся, по крайней мере, 3 синих шара и 2 жѐлтых шара. Какое наибольшее число шаров может быть в ящике?

Для решения этой задачи мы должны определить какие шары и в каком количестве могут находиться в ящике, чтобы общее число их было максимально.

Определение количества шаров

Имеются шары трех цветов. Количество шаров одного цвета должно быть меньше 50, ибо в противном случае имеется вероятность достать 50 шаров одного цвета.

Если бы не было красных шаров, то для выполнения условия, в ящике должно было быть максимум 47 желтых и 48 синих шара, всего 47 + 48 = 95 шаров.

Красные шары есть и их не может быть больше 45, так как иначе мы не сможем вынуть 3 синих и 2 желтых.

Принимаем, что у нас имеется:

красный шар - 1; желтый шар - 46; синий шар - 47;

Всего: 1 + 46 + 47 = 94 шара;

В этом случае, достав любые 50 шаров, мы точно вытащим 3 синих и 2 желтых шара.

Доказательство того, что это количество шаров наибольшее

Примем, что у нас 2 красных шара. Тогда, для выполнения условия задачи в ящике должно быть максимально 45 желтых и 46 синих шара, в противном случае мы можем вынуть, например, 47 синих, 2 красных и 1 желтый, что не удовлетворят условиям. Получается, что если красных шаров 2, то общее количество шаров должно быть 2 + 45 + 46 = 93 шара. Это меньше, чем получалось при расчете с одним красным шаром. Далее можно показать, что увеличение количества красных шаров ведет к снижению их максимально возможного общего количества.

Пусть красных 3, тогда желтых максимально 44, синих 45 и максимальное общее количество 92.

Значит, наибольшее количество шаров в ящике будет: 1 красный, 46 желтых, 47 синих,

1 + 46 + 47 = 94;

Ответ: Наибольшее число шаров в ящике может быть 94.

Шаров каждого цвета в ящике должно быть меньше 50, так как иначе мы могли бы вытащить 50 шаров одного цвета.

Значит, в ящике должно быть максимум 47 желтых и 48 синих шара, всего 95 шаров. Если бы не было красных шаров, то условие задачи было бы выполнено. Но есть красные, их не может быть больше 45, так как если мы вытащим 46 красных, то желтых или синих среди 50 будет меньше, чем в условии задачи. Примем, что у нас один красный шар, тогда 46 желтых и 47 синих. Всего 94 шара. И мы, выбрав любые 50, всегда достанем по крайней мере 2 желтых и 3 синих шара. Допустим у нас 2 красных шара. Тогда, чтобы выполнить условия задачи в ящике должно быть максимально 45 желтых и 46 синих шара, иначе мы можем вытащить, например, 46 желтых, 2 красных и 2 синих, что не удовлетворят условиям. Значит, если красных шаров 2, то общее количество шаров должно быть 2 + 45 + 46 = 93, что меньше, чем при одном красном шаре. Нетрудно проверить, что увеличение количества красных шаров, ведет к снижению максимально возможного их общего количества. Поэтому, наибольшее количество шаров в ящике - 1 красный, 46 желтых, 47 синих, 1 + 46 + 47 = 94;

Ответ: В ящике может быть максимум 94 шара.