Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах a - 2b и a + b, если модуль вектора а = sqrt 2, модуль вектора b = 4, угол (a, b) = 45 градусам

Введём обозначения с = a - 2 * b и d = a + b. Тогда, требование задания можно перефразировать в следующем виде: "Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах с и d". Как известно, площадь параллелограмма S равна модулю векторного произведения, построенного на этих векторах. Выразим векторное произведение векторов с и d через данные векторы a и b. С этой целью найдём g = [c * d] = [ (a - 2 * b) * (a + b) ] = [a * a] + [a * b] + [-2 * b * a] + [-2 * b * b] = [a * a] + [a * b] - 2 * [b * a] - 2 * [b * b]. Используя свойства векторного произведения, получим: g = 0 + [a * b] - 2 * (-[a * b]) = 3 * [a * b]. Ясно, что |[a * b]| численно равно |a| * |b| * sin45° = √ (2) * 4 * (√ (2) / 2) = 4. Тогда, площадь параллелограмма, построенного на векторах с и d равна |g| = |3 * [a * b]| = 3 * |[a * b]| = 3 * 4 = 12.

Ответ: 12 квадратных единиц.