при каких значениях m вершины парабол У=Х к квадрате - 4mх+m и У=Х в квадрате + 8mx+4 расположены по одну сторону оси Х

Парабола находится по одну сторону от оси х, если у нее только одна точка касания с осью х или нет их вообще.

Если дискриминант квадратного трехчлена равен нулю, то точка касания параболы с осью х одна, если дискриминант меньше нуля, то точек касания нет. Значит, дискриминант должен быть меньше или равен нулю.

Выразим дискриминант и составим неравенство.

у = х² - 4mх + m.

a = 1; b = - 4m; c = m.

D = (-4m) ² - 4 * 1 * m = 16m² - 4m = 4m (4m - 1).

D ≤ 0;

4m (4m - 1) ≤ 0.

Корни неравенства m = 0, m = 1/4.

Знаки интервалов: (+) 0 (-) 1/4 (+).

Знак неравенства ≤ 0, решение неравенства: m принадлежит промежутку [0; 1/4].

у = х² + 8mx + 4.

a = 1; b = 8m; c = 4.

D = (8m) ² - 4 * 1 * 4 = 64m² - 16 = 16 (4m² - 1) = 16 (2m - 1) (2m + 1).

D ≤ 0;

16 (2m - 1) (2m + 1) ≤ 0.

Корни неравенства m = ±1/2.

Знаки интервалов: (+) - 1/2 (-) 1/2 (+).

Знак неравенства ≤ 0, решение неравенства: m принадлежит промежутку [-1/2; 1/2].

Чтобы обе параболы были по одну сторону от оси х, объединим решения обоих неравенств: m принадлежит промежутку [0; 1/4].