При каких значениях m вершины парабол y = x2 - 2mx+m и y=x2 + 4mx - 8m расположены по разные стороны от очи Ox

1. Для определения координат вершины параболы, выделим полные квадраты двучленов:

a) y = x^2 - 2mx + m;

y = x^2 - 2mx + m^2 - m^2 + m; y = (x - m) ^2 - m^2 + m; y = (x - m) ^2 + (m - m^2); x1 = m; y1 = m - m^2;

b) y = x^2 + 4mx - 8m;

y = x^2 + 4mx + 4m^2 - 4m^2 - 8m; y = (x + 2m) ^2 - (4m^2 + 8m); x2 = - 2m; y2 = - (4m^2 + 8m).

2. Исследуем ординаты вершин парабол:

y1 = m - m^2 = - m (m - 1); y2 = - (4m^2 + 8m) = - 4m (m + 2).

a) при m = 0:

y1 = y2 = 0.

Вершины лежат на оси абсцисс;

b) при m ≠ 0, y1 и y2 должны иметь различные знаки:

y1 * y2 < 0; - m (m - 1) * (-4m) (m + 2) < 0; 4m^2 (m - 1) (m + 2) < 0; (m - 1) (m + 2) < 0; m1 = - 2; m2 = 1;

m ∈ (-2; 1).

Ответ: (-2; 1).