Написать последовательность значений переменной x=1 + (-1) ^n/2n+1. Начиная с какого n модуль разности x-1 сделается и будет оставаться меньше 0,01, меньше данного положительного е?

Имеем последовательность (ряд) чисел, каждый член которой в общем виде записывается так:

1 + (-1) ^n / (2 * n + 1)

Тогда при n = 0:

1 + (-1) ^0 / (2 * 0 + 1) = 1 + 1 / 1 = 2.

при n = 1:

1 + (-1) ^1 / (2 * 1 + 1) = 1 + (-1) / 3 = 2 / 3.

при n = 2:

1 + (-1) ^2 / (2 * 2 + 1) = 1 + 1 / 5 = 6 / 5.

при n = 3:

1 + (-1) ^3 / (2 * 3 + 1) = 1 + (-1) / 7 = 6 / 7.

Рассмотрим модуль разности x - 1:

|x - 1| = |1 + (-1) ^n / (2 * n + 1) - 1| = | (-1) ^n / (2 * n + 1) | = 1 / (2 * n + 1).

Найдем при каких значениях n |x - 1| < 0,01.

|x - 1| = 1 / (2 * n + 1) < 0,01,

100 < 2 * n + 1,

99 < 2 * n,

49,5 < n.

Значит условие выполняется, если n > = 50.

Аналогично найдем при каких значениях n |x - 1| < e.

|x - 1| = 1 / (2 * n + 1) < e,

1 < (2 * n + 1) * e = 2 * e * n + e,

1 - e < 2 * e * n,

(1 - e) / (2 * e) < n.

Для любого положительного e условие выполняется при (1 - e) / (2 * e) < n.