Найдите наибольшее значение функции на отрезке Y = 11 + 24x - 2x√x на отрезке [63; 65]

1. Область допустимых значений:

x ≥ 0; x ∈ [0; ∞).

2. Найдем критические точки функции:

y = 11 + 24x - 2x√x; y = 11 + 24x - 2x^1,5; y' = 24 - 2 * 1,5 * x^0,5; y' = 24 - 3√x = 3 (8 - √x). 3 (8 - √x) = 0; √x = 8; x = 8^2 = 64.

3. Промежутки монотонности:

a) x ∈ [0; 64), y' > 0, функция возрастает; b) x ∈ (64; ∞), y' < 0, функция убывает.

В точке x = 8 функция переходит от возрастания к убыванию - точка максимума, в которой функция принимает свое наибольшее значение:

y (max) = y (64) = 11 + 24 * 64 - 2 * 64 * √64 = 11 + 1536 - 1024 = 523.

Ответ: 523.