Докажите, что при любых целых m и n делится на 8 значение выражения: (2m+n-3) (2m+n+1) - (2m-n+3) (2m-n-1)

1. Рассмотрим данное выражение как функцию от двух переменных и преобразуем ее:

f (m, n) = (2m + n - 3) (2m + n + 1) - (2m - n + 3) (2m - n - 1).

2. Раскроем скобки и приведем подобные члены, воспользовавшись формулой:

a^2 - b^2 = (a + b) (a - b); f (m, n) = ((2m + n - 1) - 2) ((2m + n - 1) + 2) - ((2m - n + 1) + 2) ((2m - n + 1) - 2); f (m, n) = ((2m + n - 1) ^2 - 2^2) - ((2m - n + 1) ^2 - 2^2); f (m, n) = (2m + n - 1) ^2 - 4 - (2m - n + 1) ^2 + 4; f (m, n) = (2m + n - 1) ^2 - (2m - n + 1) ^2; f (m, n) = ((2m + n - 1) + (2m - n + 1)) ((2m + n - 1) - (2m - n + 1)); f (m, n) = (2m + n - 1 + 2m - n + 1) (2m + n - 1 - 2m + n - 1); f (m, n) = 4m * (2n - 2); f (m, n) = 8m (n - 1) - делится на 8.

Что и требовалось.