Исследовать на экстремум функции y=1/3 x^3+x^2-3x

Исследуем функцию y = 1/3 x^3 + x^2 - 3x с помощью производной. Экстремумы функции это точки максимума и точки минимума.

y' = (1/3 x^3 + x^2 - 3x) ' = x^2 + 2x - 3;

x^2 + 2x - 3 = 0;

D = b^2 - 4ac;

D = 2^2 - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16; √D = 4;

x = (-b ± √D) / (2a);

x1 = (-2 + 4) / 2 = 2/2 = 1;

x2 = (-2 - 4) / 2 = - 6/2 = - 3.

Отметим на числовой прямой точки (-3) и 1. Они делят прямую на промежутки: 1) (-∞; - 3), 2) (-3; 1), 3) (1; + ∞). Производная функции на 1 и 3 интервалах принимает положительные значения, на 2 интервале производная принимает отрицательные значения. Если производная функции положительная на интервале, то на этом интервале функция возрастает. Если производная функции на интервале отрицательная, то на этом промежутке функция убывает. Значит, на 1 и 3 интервалах функция возрастает, а на 2 интервале убывает.

В точке х = - 3 функция меняет возрастание на убывание, значит эта точка является точкой максимума. В точке х = 1 функция меняет убывание на возрастание, значит это точка минимума.

Ответ. Максимум функции в точке х = - 3; минимум функции в точке х = 1.