Исследовать функцию на экстремум двух независимых переменных z=x^3y+y^2x^3+15x

1. Независимая переменная - x:

f (x) = x^3y + y^2x^3 + 15x;

f (x) = y (y + 1) x^3 + 15x;

f' (x) = 3y (y + 1) x^2 + 15;

а) при y ∈ (-∞; - 1] ∪ [0; ∞) функция возрастает.

б) при y ∈ (-1; 0):

f' (x) = 0;

3y (y + 1) x^2 + 15 = 0;

y (y + 1) x^2 + 5 = 0;

x^2 = - 5 / (y^2 + y);

x = ±√ (-5 / (y^2 + y)) - точки экстремума;

x1 = - √ (-5 / (y^2 + y)) - точка минимума;

x2 = √ (-5 / (y^2 + y)) - точка максимума.

2. Независимая переменная - y:

g (y) = x^3y + y^2x^3 + 15x;

g (y) = x^3y^2 + x^3y + 15x;

g' (y) = 2x^3y + x^3;

g' (y) = x^3 (2y + 1);

a) при x = 0; g (y) = 0;

b) при x ≠ 0:

g' (y) = 0;

x^3 (2y + 1) = 0;

y = - 1/2 - точка экстремума;

при x > 0; y = - 1/2 - точка минимума;

при x < 0; y = - 1/2 - точка максимума.

Ответ:

1) f (x); при y ∈ (-1; 0):

точка минимума: - √ (-5 / (y^2 + y));

точка максимума: √ (-5 / (y^2 + y)).

2) g (y);

при x > 0; y = - 1/2 - точка минимума;

при x < 0; y = - 1/2 - точка максимума.