Докажите, что среди любых ста целых чисел можно выбрать несколько (возможно, одно) разность которых делится на 100

1. Если среди 100 целых чисел существует такое число, которое делится на 100, то условие задачи выполняется по соответствующему признаку.

2. В противном случае, при делении каждого из этих чисел на 100 получим остаток от 1 до 99. Т. к. количество возможных остатков 99, то среди 100 целых чисел найдутся два таких числа a и b, которые при делении на 100 дают один и тот же остаток r:

a = 100m + r; (1)

b = 100n + r, (2)

где m и n - целые числа.

Вычтя уравнения (1) и (2), получим:

a - b = 100m + r - 100n - r;

a - b = 100 (m - n). (3)

Из уравнения (3) следует, что разность чисел a и b делится на 100, что и требовалось доказать.