Доказать что произведение многочленов a (во второй степени) + 2ab+4b (во второй степени) и a-2b равно частному от деления многочлена 5a (в четвёртой степени) b-40ab (в четвёртой степени) на одночлен 5ab

Тема: Доказать что произведение многочленов a^2 + 2ab + 4b и a-2b равно частному от деления многочлена 5a^4b - 40ab^4 на одночлен 5ab.

1. Найдём произведение многочленов a^2 + 2ab + 4b и a - 2b:

(a^2 + 2ab + 4b^2) * (a - 2b) = a^3 + 2a^2b + 4ab^2 - 2a^2b - 4ab^2 - 8b^3 =

a^3 - 8b^3;

2. Найдём частное от деления многочлена 5a^4b - 40ab^4 на одночлен 5ab:

(5a^4b - 40ab^4) / 5ab = 5ab (a^3 - 8b^3) / 5ab = a^3 - 8b^3;

Ответ: в 1-ом и 2-ом случае ответы равны - a^3 - 8b^3;

Докажем, что произведение многочленов a ^ 2 + 2 * a * b + 4 * b ^ 2 и a - 2 * b равно частному от деления многочлена 5 * a ^ 4 * b - 40 * a * b ^ 4 на одночлен 5 * a * b

Запишем используемые формулы для доказательства тождества:

Формула сокращенного умножения (a ^ 3 - b ^ 3) = (a - b) * (a ^ 2 + a * b + b ^ 2); Распределительное свойство (a * b - a * c) = a * (b - c); Сокращение дроби a * c/a = c.

Запишем выражение в виде:

(a ^ 2 + 2 * a * b + 4 * b ^ 2) * (a - 2 * b) = (5 * a ^ 4 * b - 40 * a * b ^ 4) / (5 * a * b);

(a ^ 2 + 2 * a * b + 4 * b ^ 2) * (a - 2 * b) = (5 * a * b * a ^ 3 - 5 * 8 * a * b * b ^ 3) / (5 * a * b);

Вынесем в правой части выражения в дроби в числителе общий множитель и получим:

(a ^ 2 + 2 * a * b + 4 * b ^ 2) * (a - 2 * b) = (5 * a * b) * (1 * a ^ 3 - 1 * 8 * 1 * b ^ 3) / (5 * a * b);

Числитель и знаменатель в дроби в правой части выражения сокращаем на 5 * a * b, тогда получим:

(a ^ 2 + 2 * a * b + 4 * b ^ 2) * (a - 2 * b) = 1 * (1 * a ^ 3 - 1 * 8 * 1 * b ^ 3) / 1;

(a ^ 2 + 2 * a * b + 4 * b ^ 2) * (a - 2 * b) = (a ^ 3 - 8 * b ^ 3);

(a ^ 2 + 2 * a * b + 4 * b ^ 2) * (a - 2 * b) = (a ^ 3 - 2 ^ 3 * b ^ 3);

(a ^ 2 + 2 * a * b + 4 * b ^ 2) * (a - 2 * b) = (a ^ 3 - (2 * b) ^ 3);

Используя формулу сокращенного умножения (a ^ 3 - b ^ 3) = (a - b) * (a ^ 2 + a * b + b ^ 2) упростим выражение

(a ^ 2 + 2 * a * b + 4 * b ^ 2) * (a - 2 * b) = (a - 2 * b) * (a ^ 2 + a * 2 * b + (2 * b) ^ 2);

(a ^ 2 + 2 * a * b + 4 * b ^ 2) * (a - 2 * b) = (a - 2 * b) * (a ^ 2 + a * 2 * b + 2 ^ 2 * b ^ 2);

(a ^ 2 + 2 * a * b + 4 * b ^ 2) * (a - 2 * b) = (a - 2 * b) * (a ^ 2 + 2 * a * b + 4 * b ^ 2);

Правую и левую часть выражения делим на (a - 2 * b), тогда получаем:

(a ^ 2 + 2 * a * b + 4 * b ^ 2) * (a - 2 * b) / (a - 2 * b) = (a - 2 * b) * (a ^ 2 + 2 * a * b + 4 * b ^ 2) / (a - 2 * b);

В правой и левой части выражения числитель и знаменатель в дроби сокращаем на (a - 2 * b), тогда получим:

(a ^ 2 + 2 * a * b + 4 * b ^ 2) * 1/1 = 1 * (a ^ 2 + 2 * a * b + 4 * b ^ 2) / 1;

(a ^ 2 + 2 * a * b + 4 * b ^ 2) = (a ^ 2 + 2 * a * b + 4 * b ^ 2);

Сначала раскрываем скобки. Если перед скобками стоит знак минус, то при ее раскрытии, знаки значений меняются на противоположный знак. Если же перед скобками стоит знак плюс, то при ее раскрытии знаки значений остаются без изменений. То есть получаем:

a ^ 2 + 2 * a * b + 4 * b ^ 2 = a ^ 2 + 2 * a * b + 4 * b ^ 2;

Отсюда получили, что тождество (a ^ 2 + 2 * a * b + 4 * b ^ 2) * (a - 2 * b) = (5 * a ^ 4 * b - 40 * a * b ^ 4) / (5 * a * b) верно.