при каких натуральных n значение выражения M=n2+5n-8 и делить всё на n+3 являются целыми числами?

Прежде всего, следует отметить, что выражение M = (n² + 5 * n - 8) / (n + 3) является алгебраической дробью. Следовательно, оно имеет смысл только в том случае, если n + 3 ≠ 0, то есть при n ≠ - 3. Заметим, что у дроби M числитель представляет собой квадратный трёхчлен, которого обозначим через N. Для того, чтобы можно было ответить на поставленный в задании вопрос, выделим из квадратного трёхчлена n² + 5 * n - 8 произведение двух множителей, где одним множителем является n + 3. Имеем N = n² + 3 * n + 2 * n - 8. Используя распределительное свойство умножения относительно сложения, вынесем за скобки множитель n. Тогда, имеем N = n * (n + 3) + 2 * n - 8 = n * (n + 3) + 2 * n + 6 - 6 - 8 = n * (n + 3) + 2 * (n + 3) - 14 = (n + 3) * (n + 2) - 14. Итак, M = ((n + 3) * (n + 2) - 14) / (n + 3) = ((n + 3) * (n + 2)) / (n + 3) - 14 / (n + 3). Сокращая на (n + 3) первую дробь в этого выражения, имеем M = n + 2 - 14 / (n + 3). Теперь очевидно, что при натуральных n, значение выражения M будет целым числом, если 14 / (n + 3) - целое число. Нетрудно убедиться, что число 14 имеет всего 4 делителя: 1, 2, 7 и 14. Проверим каждый делитель по отдельности: а) при n + 3 = 1, имеем n = 1 - 3 = - 2 - это противоречит натуральности n; б) при n + 3 = 2, имеем n = 2 - 3 = - 1 - это также противоречит натуральности n; в) при n + 3 = 7, имеем n = 7 - 3 = 4 - это первый ответ на поставленный вопрос; г) при n + 3 = 14, имеем n = 14 - 3 = 11 - это второй ответ на вопрос.

Ответ: При n = 4 и n = 11.