Найти наибольшее и наименьшее значение f (x) = x^3-2x^2+1. [0.5; бесконечность] f (x) = 2x+6 это все род корнем - x. [-3; бесконечность]

f (x) = x^3 - 2x^2 + 1, на промежутке [0,5; + ∞].

Сначала нужно найти точки экстремума функции, т. е. такие точки, в которых производная функции равна нулю или не существует.

Найдем производную функции.

f' (x) = (x^3 - 2x^2 + 1) ' = 3x^2 - 4x.

Точки экстремума

f' = 0:

3x^2 - 4x = 0,

x (3x - 4) = 0,

x = 0,

x = 4/3.

Получим: х = 0 и x = 4/3 - точки экстремума функции.

При х 0, функция возрастает.

При 0 < х < 4/3, f' < 0, функция убывает.

При х > 4/3, f' > 0, функция возрастает.

Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке достигается либо в точке экстремума, либо на концах отрезка.

Точка х = 0 не принадлежит промежутку [0,5; + ∞].

При х = 0,5, у = (0,5) ^3 - 2 * (0,5) ^2 + 1 = 0,125 - 0,5 + 1 = 0,625.

При х = 4/3, у = (4/3) ^3 - 2 * (4/3) ^2 + 1 = 64/27 - 32/9 + 1 = (64 - 96 + 27) / 9 = - 5/9.

При х = + ∞, у = + ∞.

Таким образом, yнаим = у (4/3) = - 5/9, yнаиб = у (+∞) = + ∞.

Ответ: yнаим = - 5/9, yнаиб = + ∞.

f (x) = √ (2x + 6) - х на промежутке [-3; + ∞].

Область определения: 2 х + 6 > 0, х > - 3.

Найдем производную функции.

f' (x) = (√ (2x + 6) - х) ' = 1 / (2√ (2x + 6)) - 1.

Точки экстремума

f' = 0:

1 / (2√ (2x + 6)) - 1 = 0,

1 / (2√ (2x + 6)) = 1,

2√ (2x + 6) = 1,

√ (2x + 6) = 0,5,

2 х + 6 = 0,25,

2 х = 0,25 - 6,

х = - 23/8.

f' не существует при 2 х + 6 = 0, х = - 3.

Получим: х = - 23/8 и x = - 3 - точки экстремума функции.

При х < - 3, f' и f (x) не существует.

При - 3 < х 0, функция возрастает.

При х > - 23/8, f' < 0, функция убывает.

Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке достигается либо в точке экстремума, либо на концах отрезка.

При х = - 3, у = √ (-6 + 6) + 3 = 3.

При х = - 23/8, у = √ (-23/4 + 6) + 23/8 = 0,5 + 2,875 = 3,375.

При х = + ∞, у = - ∞.

Таким образом, yнаим = у (+∞) = - ∞, yнаиб = у (-23/8) = 3,375.

Ответ: yнаим = - ∞, yнаиб = 3,375.