если натуральное число делится на "а" и на "b", то оно делится и на произведение "аb". для каких натуральных чисел "а" и "b" такое утверждение неверно? ответ объясните.

Решение:

Пусть А - натуральное число.

Значит его можно разложить на простые множители и представить в виде:

А = p1^k1 * p2^k2 * ... * pn^kn,

где p1, p2, ..., pn - простые числа, а k1, k2, ..., kn - натуральные числа.

Если А делится на a, то a можно разложить на простые множители и представить в виде:

а = pi1^m1 * pi2^m2 * ... * pin^mn, где pi1, pi2, ..., pin - простые числа из множества чисел (p1, p2, ..., pn). В противном случае, A не делилось бы на a.

Аналогично, если А делится на b, то b можно разложить на простые множители и представить в виде:

b = pj1^l1 * pj2^l2 * ... * pjs^ls, где pj1, pj2, ..., pjs - простые числа из множества чисел (p1, p2, ..., pn). В противном случае, B не делилось бы на b.

Запишем произведение a * b используя разложение на простые множители и заметим, если при умножении степень простого числа из разложения a и степень тоже простого числа из разложения числа b (при наличии такового) суммировать, то если эта сумма будет больше соответствующего ki из разложения числа A, то число А не будет делиться на a * b.

Пример:

А = 100, A = 2^2 * 5^2.

a = 2 * 5, b = 2^2 * 5^2. А делится на a и b, но a * b = 2^3 * 5^3 и 3 > 2.

A не делится на a * b.