Населенные пункты А и В находятся по разные стороны реки шириной 40 м, на расстоянии 50 м и 20 м от её берегов. Расстояние между А и В по реке равно 240 м. В каком месте реки нужно построить мост, перпендикулярный береговой линии, чтобы путь, соединяющий А и В имел наименьшую длину. Найти длину этого пути, если берега реки - параллельные прямые, А и В - точки на плоскости, расстояние между А и В по реке-длина отрезка между основаниями перпендикуляров, опущенных на точек А и В на береговую линию

1. Расстояние от точки А до реки: Sa = 50 м; 2. Расстояние от реки до точки В: Sb = 20 м; 3. Расстояние по реке между точками: Sc = 240 м; 4. Ширина реки: Sp = 40 м; 5. Если принять ширину реки, равную нулю, кратчайшее расстояние между точками будет на прямой So, соединяющие эти точки. Все остальные расстояния, состоящие из ломаных прямых и образующие с прямой So треугольник, будут длиннее (сумма двух сторон треугольника больше третьей стороны); 6. Расстояние между точками А и В: So² = Sc² + (Sa + Sb) ² = 240² + (50 + 20) ² = 62500; So = sqrt (62500) = 250 м (отрицательный корень не принимаем во внимание); 7. Учитывая ширину реки, разносим отрезки Sac и Scb на Sp: S = So + Sp = 250 + 40 = 290 м; 8. Мост строится на расстоянии Sam от точки А и Sbm от точки В: Sam / Sbm = Sa / Sb = 50 / 20 = 2,5; Sbm = Sam / 2,5 = 0,4 * Sam Sc = Sam + Sbm = Sam + 0,4 * Sam = 1,4 * Sam; Sam = Sc / 1,4 = 240 / 1,4 = 171,4 м. Ответ: расстояние по реке от точки А до моста равно 171,4 м, кратчайшее расстояние между точками А и В равно 250 м.