21 sin 2x + 2 sin² x+8 = 0

Применим формулу основного тождества тригонометрической функций:

21sin2x + 2sin²x + 8 = 0;

1 = sin²x + cos²x;

21sin2x + 2sin²x + 8 (sin²x + cos²x) = 0;

21sin2x + 2sin²x + 8sin²x + 8cos²x = 0;

21sin2x + 10sin²x + 8cos²x = 0;

Применим формулу двойного аргумента тригонометрической функций:

sin2x = 2sinxcosx;

42sinxcosx + 10sin²x + 8cos²x = 0;

Разделим равенство на cos²x ≠ 0;

10sin²x/cos²x + 42sinxcosx/cos²x + 8cos²x/cos²x = 0;

10tg²x + 42tgx + 8 = 0;

Выполним замену tgx = у:

10y² + 42y + 8 = 0;

Вычислим дискриминант:

D = b² - 4ac = 42² - 4 * 10 * 8 = 1764 - 320 = 1444;

D › 0, значит:

у1 = ( - b - √D) / 2a = ( - 42 - √1444) / 2 * 10 = ( - 42 - 38) / 20 = - 80 / 20 = - 4;

у2 = ( - b + √D) / 2a = ( - 42 + √1444) / 2 * 10 = ( - 42 + 38) / 20 = 4 / 20 = 1/5;

Тогда, если у1 = - 4, то:

tgx = - 4;

х = arctg ( - 4) + πn, n ∈ Z;

х1 = - arctg (4) + πn, n ∈ Z;

если у2 = 1/5, то:

tgx = 1/5;

х2 = arctg (1/5) + πn, n ∈ Z;

Ответ: х1 = - arctg (4) + πn, n ∈ Z, х2 = arctg (1/5) + πn, n ∈ Z.