1. В треугольнике abc известно, что ac=5√2 см угол b=45 угол с=30°. Найдите сторону ab 2. Одна сторона треугольника на 3 см меньше другой, а угол между ними равен 60° Найдите периметр треугольника если его третья сторона равна 7. 3. Найдите Радиус окружности вписанной в треугольник со сторонами 4,13,15 4. Стороны треугольника равны 4,5,7 Найдите медиана треугольника проведенной к его меньшей стороне.

1. Решение. Согласно теореме синусов.

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Если стороны треугольника обозначим через a, b, c, а углы α, β, γ, то;

a / sinα = b / sinβ = c / sinγ.

ab / sin45⁰ = ac / sin30^{0 →} ab / (√2/2) = 5√2 / (1 / 2);

вычислив выражение получаем: ab = 10√2

Ответ: 10√2.

Решение.

Пусть сторона треугольника AB = x см, тогда AC = (x - 3) см.

Тогда по теореме косинусов BC² = AB² + AC² - 2 * 2 AB * AC * cosA.

49 = x² + (x - 3) ² - 2 * cos60⁰ x² - 3x - 24 = 0.

D = 9 + 4 * 24 = 105;

x1 = (3 - √105) / 2 - результат будет отрицательным, поэтому не удовлетворяет условию задачи;

x2 = (3 + √105) / 2 = 1,5 + √52,5.

Ответ: 1,5 + √52,5.

Решение.

Радиус вписанной (r) окружности в треугольник находят по формуле:

r = √ ((p - a) * (p - b) * (p - c)) / p

Здесь:

- а, b и с стороны, - p полупериметр треугольника,

р = (а + в + с) / 2.

Подставляя значения сторон получаем:

r = √ ((16 - 4) * (16 - 13) * (16 - 15)) / 16 = √ (36 / 16) = 3 / 2 = 1,5

Ответ: 1,5

Решение.

Дано: a = 4, b = 5, c = 7. Найти m.

Длина медианы треугольника вычисляется по формуле:

m = 1 / 2 * √ (2 * a² + 2 * b² - c²);

где m - медиана треугольника проведенной к его меньшей стороне.

m = 0,5 * √ (2 * 5² + 2 * 7² - 4²) = 0,5 * √ (50 + 98 - 16) = 0,5 * √ 132 = 0,5 * 2√33 = 2√33

Ответ: 2√33