Найдите наименьшее значение функции у=х³+6 х²+9 х+8 на отрезке [-2:0]

1. Найдем первую производную функции у = х^3 + 6 х^2 + 9 х + 8:

у' = 3 х^2 + 12 х + 9.

2. Приравняем эту производную к нулю:

3 х^2 + 12 х + 9 = 0;

D = b^2 - 4ac = 144 - 4 * 3 * 9 = 144 - 108 = 36.

D > 0, уравнение имеет два корня.

х1 = (-b + √D) / 2a = (-12 + 6) / 6 = - 6/6 = - 1.

x2 = (-b - √D) / 2a = (-12 - 6) / 6 = - 18/6 = - 3.

3. Найдем значение функции в этих точках и на концах заданного отрезка [-2; 0]:

у (-1) = - 1 + 6 - 9 + 8 = - 10 + 14 = 4;

у (-3) = - 27 + 6 * 9 - 27 + 8 = - 54 + 62 = 8;

у (-2) = - 8 + 24 - 18 + 8 = - 26 + 32 = 6;

у (0) = 8.

Минимальное значение в точке х = - 1, она принадлежит заданному отрезку.

Ответ: fmin = 4.