Доказать тождество: sin^2 (x+y) - sin^2 (x-y) = sin2x*sin2y

Преобразовывая левую часть исходного соотношения, используя формулу разности квадратов a^2 - b^2 = (a - b) * (a + b):

sin^2 (x + y) - sin^2 (x - y) = (sin (x + y) - sin (x - y)) * (sin (x + y) + sin (x - y)).

Используя формулы суммы и разности синусов, получаем:

(sin (x + y) - sin (x - y)) * (sin (x + y) + sin (x - y)) = (2 * sin ((х + у + х - у) / 2) * cos ((х + у - х + у) / 2)) * (2 * sin ((х + у - х + у) / 2) * cos ((х + у + х - у) / 2)) = (2 * sin ((2 х) / 2) * cos ((2 у) / 2)) * (2 * sin ((2 у) / 2) * cos ((2 х) / 2)) = 2 * sin (х) * cos (у) * 2 * sin (у) * cos (х).

Используя формулу синуса дойного угла, получаем:

2 * sin (х) * cos (у) * 2 * sin (у) * cos (х) = (2 * sin (х) * cos (х)) * (2 * sin (у) * cos (у)) = sin (2x) * sin (2 у).