Найдите производную функции y = (5x^3) / (4-x^2)

Question

Asa

Математика

2 сентября, 20:46

Найдите производную функции y = (5x^3) / (4-x^2)

+1

Ответы (2)

Знаешь ответ на этот вопрос?

Кира Гуляева · Answer 1

По условию задачи нам необходимо вычислить производную функции y = 5x³ / (4-x²)

Формулы и правила для вычисления производной (с) ' = 0, где с - const (производная основной элементарной функции); (xⁿ) ' = n * x⁽^n-1) (производная основной элементарной функции); (с*u) ' = с*u', где с - const (основное правило дифференцирования); (u + v) ' = u' + v' (основное правило дифференцирования); (u / v) ' = (u'v - uv') / v² (основное правило дифференцирования). Вычисление производной

Найдём производную функции: y = 5x³ / (4-x²).

Для данной функции, чтобы найти производную будем использовать правило дифференцирования частного, а именно:

y' = ((5x³) ' * (4-x²) - (5x³) * (4-x²) ') / (4-x²) ².

Используя, формулы и правила для вычисления производной, дифференцируем функцию почленно:

Вычислим производную от "5x³": "5" - это const, то есть по правилу дифференцирования "5" остается; производная от "х³" - это будет "3 * x^(3-1) = 3 х²"; следовательно, у нас получается, что (5x³) ' = 5 * 3 * х² = 15 х² Вычислим производную от " (4 - x²) ": "4" - это будет "0"; производная от "-х²" - это будет "-2 * x^(2-1) = - 2 х"; следовательно, у нас получается, что (4 - x²) ' = 0 + (-2 х) = - 2 х.

Таким образом, производная нашей функции будет следующая:

у' = ((5x³) ' * (4-x²) - (5x³) * (4-x²) ') / (4-x²) ² = (15 х² * (4-x²) - (5x³) * (-2 х)) / (4-x²) ².

Знаменатель оставим без изменений, а числитель упростим.

Рассмотрим числитель отдельно, то есть раскроем скобки у нас получится:

15 х² * (4-x²) - (5x³) * (-2 х) = 15 х² * 4 - 15 х² * x² - 5x³ * (-2 х) = 60 х² - 15 х⁴ + 10x⁴ = 60 х² - 5 х⁴ = 5 х² (12 - х²).

Следовательно, наша производная будет выглядеть следующим образом:

у' = 5 х² (12 - х²) / (4-x²) ²

Даниил Уваров · Answer 2

Найдем производную функции y = (5 * x ^ 3) / (4 - x ^ 2);

Для того, чтобы найти производную функции y = (5 * x ^ 3) / (4 - x ^ 2) используем формулы производной:

1) (x/y) ' = (x ' * y - y ' * x) / y ^ 2;

2) (x ^ n) ' = n * x ^ (n - 1);

3) (x - y) ' = x ' - y ';

4) C ' = 0;

Тогда получаем:

y ' = ((5 * x ^ 3) / (4 - x ^ 2)) ' = ((5 * x ^ 3) ' * (4 - x ^ 2) - (4 - x ^ 2) ' * (5 * x ^ 3)) / (4 - x ^ 2) ^ 2 = (15 * x ^ 2 * (4 - x ^ 2) + 2 * x * 5 * x ^ 3) / (4 - x ^ 2) = (60 * x ^ 2 - 15 * x ^ 4 + 10 * x ^ 4) / (4 - x ^ 2).