При каких значения параметра p неравенство (p-2) x^2 + (p-3) x+p>0 не имеет решений

1. При p = 2 получим неравенство, которое имеет решение:

(2 - 2) x^2 + (2 - 3) x + 2 > 0; - x + 2 > 0; x < 2; x ∈ (-∞; 2).

2. При положительных значениях первого коэффициента (p > 2) ветви параболы направлены вверх, значит, неравенство имеет решение.

3. При p < 2 неравенство не имеет решений в том случае, когда парабола не имеет точек выше оси абсцисс, т. е. дискриминант меньше или равен нулю:

(p - 2) x^2 + (p - 3) x + p > 0; D = (p - 3) ^2 - 4p (p - 2) = p^2 - 6p + 9 - 4p^2 + 8p = - 3p^2 + 2p + 9. - 3p^2 + 2p + 9 ≤ 0; 3p^2 - 2p - 9 ≥ 0; D'/4 = 1 + 3 * 9 = 28; p = (1 ± √28) / 3 = (1 ± 2√7) / 3; p1 = (1 - 2√7) / 3; p2 = (1 + 2√7) / 3 > (1 + √25) / 3 = (1 + 5) / 3 = 2; p ∈ (-∞; (1 - 2√7) / 3] ∪ [ (1 + 2√7) / 3; ∞).

Пересечение множеств:

{p ∈ (-∞; 2);

{p ∈ (-∞; (1 - 2√7) / 3] ∪ [ (1 + 2√7) / 3; ∞); p ∈ (-∞; (1 - 2√7) / 3].

Ответ: p ∈ (-∞; (1 - 2√7) / 3].