Докажите, что из натуральных чисел от 1 до 20 нельзя выбрать 15 чисел так, чтобы их сумма была равна сумме остальных чисел.

1. Сумма всех чисел от 1 до 20 равна:

S = 20 * (1 + 20) / 2 = 10 * 21 = 210.

2. Наименьшее значение для суммы произвольных 15 чисел получим, если выберем числа от 1 до 15:

S15 (min) = 15 * (1 + 15) / 2 = 15 * 16 / 2 = 15 * 8 = 120.

3. Для суммы остальных чисел в этом случае получим:

S5 (max) = 210 - 120 = 90.

4. Таким образом, наименьшее значение S15 больше наибольшего значения S5:

S15 ≥ S15 (min) > S5 (max) ≥ S5,

следовательно,

S15 > S5. (1)

Из неравенства (1) следует, что при любой комбинации сумма 15 чисел больше суммы остальных 5 чисел, поэтому они не могут быть равными. Утверждение доказано.