Известно, что для положительных чисел a, b, c каждое из трех уравнений ax^2+15bx+c=0 bx^2+15cx+a=0 cx^2+15ax+b=0 имеет хотя бы один действительный корень. Каково наименьшее значение произведения корней второго уравнения, если произведение корней первого уравнения равно 9? (Если уравнение имеет два совпадающих корня, то произведение считается равным квадрату этого корня).

Выписываем неравенства с дискриминантами: 225b^2>=4ac, 225c^2>=4ab, 225a^2>=4bc. По теореме Виета, c/a=9, то есть c=9a, и это выражение можно всюду подставить. Можно при этом предварительно разделить на a^2 все неравенства. Получится 225 (b/a) ^2>=36, то есть (b/a) ^2>=4/25, и тогда для произведения корней второго уравнения имеем a/b=4abc, что слабее третьего неравенства, равносильного 225a^3>=4abc за счёт c>a. Таким образом, третье неравенство даёт 225>=36b/a, откуда a/b>=4/25. Это и даёт наименьшее значение: оно достигается при a=4, b=25, c=36.