Числа a и b натуральные. При делении на 12 число a дает в остатке 7, а число b дает в остатке 5. Какой остаток получится при делении на 12 произведения чисел a и b?

1) Представим числа a и b как суммы кратных 12-ти и остатков:

a = 12∙n + 7;

b = 12∙m + 5;

n, m ∈ ℕ

2) Найдем произведение a∙b:

a∙b = (12∙n + 7) ∙ (12∙m + 5);

a∙b = 12²∙n∙m + 12∙5∙n + 12∙7∙m + 7∙5;

3) Выделим в произведении часть кратную 12-ти и остаток:

12²∙n∙m + 12∙5∙n + 12∙7∙m + 12∙2 + 11;

12∙ (12∙n∙m + 5∙n + 7∙m + 2) + 11;

Мы получили произведение в форме делитель * частное + остаток.

Ответ: при делении на 12 произведения чисел a и b получится остаток 11