Cos9x-cos7x+cos3x-cosx=0

Для решения этого уравнения выполним следующее:

сгруппируем одночлены; применим формулы разности тригонометрических функций и двойного аргумента; вынесем общий множитель за скобки; приравняем к нулю и решим полученные уравнения. Выполним группировку

Для удобства вычислений сгруппируем множители с максимальным и минимальным числовыми коэффициентами, и множители со средними по значению коэффициентами, перенесём из в разные части уравнения:

cos9x - cos7x + cos3x - cosx=0,

cos9x - cosx = cos7x - cos3x.

Применим формулу суммы тригонометрических функций

На этом этапе воспользуемся формулой разности косинусов:

cosа - cosb = - 2sin (a+b) / 2*sin (a-b) / 2.

Запишем уравнение в виде:

-2sin (9x + x) / 2*sin (9x - x) / 2 = - 2sin (7x + 3x) / 2*sin (7x - 3x) / 2,

-2sin5x*sin4x = - 2sin5x*sin2x.

- 2sin5x*sin4x + 2sin5x*sin2x = 0.

Вынесем за скобки общий множитель

Перенесли все члены уравнения в левую часть. Вынесем за скобки - 2sin5x как общий множитель:

-2sin5x * (sin4x + sin2x) = 0.

Решим два уравнения

1) - 2sin5x = 0,

sin5x = 0,

5x = пk, k е Z;

x = пk/5, k e Z.

2) sin4x + sin2x = 0,

Для выражения sin4x используем формулу двойного аргумента:

sin2x = 2sinxcosx.

То есть sin4x запишем как 2sin2xcos2x:

2sin2xcos2x + sin2x = 0,

sin2x * (2cos2x + 1) = 0.

Приравняем к 0 и решим два уравнения

1) sin2x = 0,

2x = пk, k e Z;

x = пk/2, k e Z.

2) 2cos2x + 1 = 0,

2cos2x = - 1,

cos2x = - 1/2,

2x = + -п/3 + 2 пk, k e Z;

x = + - п/6 + пk, k e Z.

Ответ: x1 = пk/5, k e Z; х2 = пk/2, k e Z; х3 = + - п/6 + пk, k e Z.

Решение:

1. Применим к данному уравнению формулу преобразования тригонометрических выражений: (-2) * sin (8x) * sin (x) + sin (2x) * sin (x) = 0.

2. Выведем за скобки sin (x) : sin (x) * (sin (8x) + sin (2x)) = 0.

Если произведение равно нулю, значит, один из множителей должен быть равен нулю. Следовательно:

sin (x) = 0, тогда x1 = П * n, где n - целое число.

sin (8x) + sin (2x) = 0. Применим к данному уравнению формулу преобразования тригонометрических выражений: 2 * sin (5x) * cos (3x) = 0; sin (5x) * cos (3x) = 0.

Если произведение равно нулю, значит, один из множителей должен быть равен нулю. Следовательно:

sin (5x) = 0, тогда x2 = П * n / 5, где n - целое число.

cos (3x) = 0, тогда x3 = П / 6 + П * n / 3, где n - целое число.

Ответ: x1 = П * n, x2 = П * n / 5, x3 = П / 6 + П * n / 3, где n - целое число.