Вычислить предел x->бесконечность lim (x^7+2x^5-4) / (3x^7+12)

В задаче требуется вычислить значение А для предела функции f (x):

А = lim _x→∞f (x);

где функция f (x) имеет вид:

f (x) = (x^7 + 2 * x^5 - 4) / (3 * x^7 + 12);

Упрощение дробной функции f (x)

Заметим, что числитель и знаменатель дробной функции f (x) являются многочленами. Для решения задачи:

найдем, какова максимальная степень n у многочленов в числителе и знаменателе функции f (x); разделим числитель и знаменатель функции f (x) на выражение x^n; найдем предел функции, вычислив пределы для каждого из слагаемых в числителе и знаменателе.

Максимальная степень n у многочленов в числителе и знаменателе функции f (x) равна семи:

n = 7;

Соответственно, разделим почленно и числитель, и знаменатель дроби на x^7. Получим:

f (x) = (x^7 / x^7 + 2 * x^5 / x^7 - 4 / x^7) / (3 * x^7 / x^7 + 12 / x^7);

f (x) = (1 + 2 / x^2 - 4 / x^7) / (3 + 12 / x^7);

Вычисление предела А = lim _x→∞f (x)

Используем далее для вычисления предела свойство степенной функции:

lim _x→∞ (1 / x^n) = 0;

при n > 0, а также то, что:

lim _x→∞ (С) = С;

для постоянной величины С.

В случае нашего предела, получаем:

А = lim _x→∞f (x) = lim _x→∞ ((1 + 2 / x^2 - 4 / x^7) / (3 + 12 / x^7));

A = (lim _x→∞ (1) + lim _x→∞ (2 / x^2) - lim _x→∞ (4 / x^7)) / (lim _x→∞ (3) + lim _x→∞ (12 / x^7));

A = (1 + 2 * lim _x→∞ (1 / x^2) - 4 * lim _x→∞ (1 / x^7)) / (3 + 12 * lim _x→∞ (1 / x^7));

Далее:

А = (1 + 2 * 0 - 4 * 0) / (3 + 12 * 0) = 1/3;

Ответ: искомый предел функции равен 1/3.

Выражение (x^7 + 2x^5 - 4) / (3x^7 + 12) можно представить в виде суммы х^7 / (3 х^7 + 12) + 2 х^5 / (3 х^7 + 12) - 4 / (3 х^7 + 12).

Поскольку в первом слагаемом в делимом и делителе число х возводится в одну и ту же степень, то при х стремящемся к бесконечности результат деления будет стремиться к результату деления множителей при х, то есть 1/3. Во втором слагаем в делимом х стоит в пятой степени, а в делителе в седьмой, значит, второе слагаемое стремится к нулю. В третьем слагаемом делимое число - 4, делитель 3 х^7 + 12, результат также стремится к нулю.

1/3+0+0=1/3.

Ответ: 1/3.