Петя бегает по круговой дорожке. Каждые 5 минут он пробегает мимо Маши, качающейся на качелях, а каждые 15 минут обгоняет пенсионера Михаила Ивановича, который тоже бегает по кругу. В некоторый момент Петя развернулся и побежал с той же скоростью в противоположном направлении. Как часто он теперь встречается с Михаилом Ивановичем?

Маша хоть и качается на качелях, тем не менее, находится на одном месте. Значит, Петя пробегает один круг за 5 минут. Найдем, сколько кругов он пробежит за 15 минут:

15 / 5 = 3 круга.

Так как каждые 15 минут Петя обгоняет пенсионера, то Михаил Иванович за это же время пробегает на один круг меньше, то есть

3 - 1 = 2 круга.

Найдем, за какое время Михаил Иванович пробегает один круг:

15 / 2 = 7,5 мин.

Выходит, что скорость Пети 1/5 круга в минуту, а скорость Михаила Ивановича 1/7,5 круга в минуту. Найдем их общую скорость:

1/5 + 1/7,5 = 3/15 + 2/15 = 5/15 = 1/3 кр/мин.

Это и будет их скоростью сближения при беге навстречу. Значит, в этом случае они будут встречаться каждые

1 / 1/3 = 1 * 3 = 3 мин.

Ответ: при беге навстречу Петя и Михаил Иванович будут встречаться каждые 3 минуты.