Найти область значения: y=8x / (x^2+1)

1. Чтобы найти область значения функции y = 8x / (x^2 + 1), заменим у на А, где А ∈ Е (у) и выразим х:

8x / (x^2 + 1) = А;

А (x^2 + 1) = 8 х;

Аx^2 + А = 8 х;

Аx^2 - 8 х + А = 0;

Данное квадратное уравнение имеет значение, если дискриминант больше или равен нулю.

Значит:

D ≥ 0;

D = b² - 4ac = ( - 8) ² - 4 * А * А = 64 - 4 А^2 ≥ 0;

Решим полученное неравенство, разделим на ( - 4):

64 - 4 А^2 ≥ 0;

А^2 - 16 ≤ 0;

(А - 4) (А + 4) ≤ 0;

А1 = 4;

А2 = - 4;

+ - +

---• (-4) - --• (4) - --

А ∈ [ - 4; 4];

Следовательно, область значения Е (у) = [ - 4; 4].