У натурального числа n ровно 3 различных простых делителя, у числа 31 n таких делителей тоже 3, а у числа 462n - - семь. Чему равна сумма цифр наименьшего такого числа n.

Простые множители числа n

Для решения задачи нам, в первую очередь, необходимо выяснить - какие простые множители может содержать искомое число n?

Так как у чисел n и 31n одинаковое количество простых множителей, то число n, естественно, имеет простой множитель 31, т. е., делится на 31.

Разложим число 462 на простые множители и вычислим их количество:

462 = 2 * 231 = 2 * 3 * 77 = 2 * 3 * 7 * 11, всего четыре простых множителя.

Таким образом, количество простых множителей у чисел n, 462 и 462n:

n: 3 множителя; 462: 4 множителя; 462n: 7 множителей.

Из этих выражений следует, что числа n и 462 не имеют общего простого множителя, в противном случае произведение 462n не могло иметь семь простых множителей. Стало быть, числа 2, 3, 7 и 11 не являются делителями для числа n.

Наименьшее значение для n

Итак, о числе n можем утверждать следующее:

число n имеет 3 простых делителя; число n делится на 31, но не делится на 2, 3, 7 и 11.

Чтобы найти наименьшее такое число, в качестве двух остальных простых множителей следует выбрать наименьшие из простых чисел, кроме самих чисел 2, 3, 7 и 11.

Для наглядности, выпишем несколько первых простых чисел:

2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47; 53; 59.

Очевидно, если исключим числа 2, 3, 7 и 11, то среди остальных простых чисел наименьшими являются числа:

5 и 13.

Следовательно, наименьшее значение для n получим при условии, что:

n = 5 * 13 * 31 = 2015.

Что касается суммы цифр этого числа, то вычисляется она достаточно просто:

2 + 0 + 1 + 5 = 8.

Ответ: 8.

n = p1 * p2 * p3;

31n = 31 * p1 * p2 * p3;

Если у числа 31n три простых делителя, то одно из них p1 = 31.

462n = 2 * 3 * 7 * 11 * p1 * p2 * p3 = 2 * 3 * 7 * 11 * 31 * p2 * p3;

получилось семь простых делителей, поэтому p2 и p3 не равны найденным делителям.

Значит, p2 равно наименьшему из оставшихся простых чисел, то есть 5, а p3 = 13.

Ответ: n = 5 * 13 * 31 = 2015 - имеет простые делители 5, 13, 31.

31n = 31 * 2015 = 5 * 13 * 31 * 31 = 62465 - имеет простые делители 2, 5, 11.

462n = 462 * 2015 = 930930 = 2 * 3 * 5 * 7 * 11 * 13 * 31 - имеет простые делители 2, 3, 5, 7, 11, 13.